矩阵 ​

什么是矩阵 ​

由m x n个数 组成的一个 m 行 n 列的数表,就是一个“矩阵”。用于存储数据信息。

矩阵于行列式有什么关系？ ​

• 矩阵本质是一个数表，行列式本质是一个数。（我的理解：一个是数据解构，一个是数）

• 解构上类似：

  矩阵的行和列可以是任意的；

  行列式的行和列必须相等的；

  只有矩阵的为方阵（行和列相等）时，才具备一些行列式的特性。

同型矩阵 ​

• 两个矩阵的行数、列数均相等。

相等矩阵 ​

• 两个矩阵同型,并且元素均对应相等。

矩阵的运算 ​

矩阵的加减运算 ​

• 必须是同型矩阵才能相加减。

• 具有交换律：A+B=B+A
• 具有结合律：(A+B)+C=A+(B+C)

数与矩阵相乘 ​

矩阵与矩阵相乘 ​

• 左取 i 行,右取 j 列,对应相乘再相加,构成新矩阵处在( i, j )位置的元素。

  能否相乘提看内标，结果看外标。

矩阵与矩阵的乘法运算性质 ​

• 不具备交换律

• 不具备消去律

• 具备结合律、左分配律、右分配律。

特殊矩阵 ​

矩阵的转置 ​

• 原来的矩阵行变成列。

• 矩阵转置的性质：

方正行列式 ​

伴随矩阵 ​

矩阵元素的代数余子式的转置；

伴随矩阵的起源：

逆矩阵 ​

回顾一下倒数：在数的乘法中,若a≠0,则存在唯一的数b，使得ab=ba=1。

$$a=\frac{1}{b}$$

• 在矩阵的乘法中,若|A|≠0, 则存在唯一的矩阵B。使得AB=BA=E。则A可逆,矩阵B是A的逆矩阵,即B=A^-1

逆矩阵的性质

试题1：

试题2：

试题3：

试题4：

逆矩阵与伴随矩阵 ​

推论：A A* = A* A = |A| E